###
  • Windows
  • Windows 7
  • Мой компьютер
  • Windows 10
  • Ошибки 
  • Windows 8
  • Ошибки
  • BSoD

    • Два определения функции непрерывной в точке. Непрерывность функции в точке. Используем определение по Коши

    09.01.2024 Windows 7

    Определение непрерывности по Гейне

    Говорят, что функция действительного переменного \(f\left(x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb{R}\) (\(\mathbb{R}-\)множество действительных чисел), если для любой последовательности \(\left\{ {{x_n}} \right\}\), такой, что \[\lim\limits_{n \to \infty } {x_n} = a,\] выполняется соотношение \[\lim\limits_{n \to \infty } f\left({{x_n}} \right) = f\left(a \right).\] На практике удобно использовать следующие \(3\) условия непрерывности функции \(f\left(x \right)\) в точке \(x = a\) (которые должны выполняться одновременно):

    1. Функция \(f\left(x \right)\) определена в точке \(x = a\);
    2. Предел \(\lim\limits_{x \to a} f\left(x \right)\) существует;
    3. Выполняется равенство \(\lim\limits_{x \to a} f\left(x \right) = f\left(a \right)\).

    Определение непрерывности по Коши (нотация \(\varepsilon - \delta\))

    Рассмотрим функцию \(f\left(x \right)\), которая отображает множество действительных чисел \(\mathbb{R}\) на другое подмножество \(B\) действительных чисел. Говорят, что функция \(f\left(x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb{R}\), если для любого числа \(\varepsilon > 0\) существует число \(\delta > 0\), такое, что для всех \(x \in \mathbb{R}\), удовлетворяющих соотношению \[\left| {x - a} \right| Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции

    Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке \(x = a\), если справедливо равенство \[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {f\left({a + \Delta x} \right) - f\left(a \right)} \right] = 0,\] где \(\Delta x = x - a\).

    Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.

    Функция является непрерывной на данном интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

    Теоремы непрерывности

    Теорема 1.
    Пусть функция \(f\left(x \right)\) непрерывна в точке \(x = a\) и \(C\) является константой. Тогда функция \(Cf\left(x \right)\) также непрерывна при \(x = a\).

    Теорема 2.
    Даны две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\), непрерывные в точке \(x = a\). Тогда сумма этих функций \({f\left(x \right)} + {g\left(x \right)}\) также непрерывна в точке \(x = a\).

    Теорема 3.
    Предположим, что две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\) непрерывны в точке \(x = a\). Тогда произведение этих функций \({f\left(x \right)} {g\left(x \right)}\) также непрерывно в точке \(x = a\).

    Теорема 4.
    Даны две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\), непрерывные при \(x = a\). Тогда отношение этих функций \(\large\frac{{f\left(x \right)}}{{g\left(x \right)}}\normalsize\) также непрерывно при \(x = a\) при условии, что \({g\left(a \right)} \ne 0\).

    Теорема 5.
    Предположим, что функция \({f\left(x \right)}\) является дифференцируемой в точке \(x = a\). Тогда функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).

    Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
    Если функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ {a,b} \right]\), то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа \(m\) и \(M\), такие, что \ для всех \(x\) в интервале \(\left[ {a,b} \right]\) (рисунок 1).

    Рис.1

    Рис.2

    Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
    Пусть функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ {a,b} \right]\). Тогда, если \(c\) − некоторое число, большее \({f\left(a \right)}\) и меньшее \({f\left(b \right)}\), то существует число \({x_0}\), такое, что \ Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.

    Непрерывность элементарных функций

    Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

    Функция называется элементарной , если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
    (с использованием \(4\) действий - сложение, вычитание, умножение и деление) . Множество основных элементарных функций включает в себя:

    На этом уроке будем учиться устанавливать непрерывность функции. Будем делать это с помощью пределов, причем односторонних - правого и левого, которые совсем не страшны, несмотря на то что записываются как и .

    Но что такое вообще непрерывность функции? Пока мы не дошли до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Если такая линия начерчена, то она непрерывна. Эта линия и является графиком непрерывной функции.

    Графически функция непрерывна в точке , если её график не "разрывается" в этой точке. График такой непрерывной функции - показан на рисунке ниже.

    Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:

    1. Функция определена в точке .

    Если хотя бы одно из перечисленных условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 - на рисунке ниже.

    Пример 1. Функция f (x ) определена следующим образом:

    Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0 , x = 1 , x = 3 ?

    Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.

    Точка x = 0 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

    .

    Найдём правосторонний предел:

    x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

    Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0 .

    Точка x = 1 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

    Найдём правосторонний предел:

    Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

    .

    Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1 .

    Точка x = 3 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

    Найдём правосторонний предел:

    Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

    .

    Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3 .

    Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.

    Что такое непрерывное изменение функции?

    Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .

    Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.

    Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m , то есть l = f (m ) , m ≥0 .

    Если немного изменить массу груза, то расстояние l изменится мало: малым изменениям m соответствуют малые изменения l . Однако если масса груза близка к пределу прочности нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние l скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График функции l = f (m ) изображён на рисунке. На участке этот график является непрерывной (сплошной) линией, а в точке он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Во всех точках, кроме , функция l = f (m ) непрерывна, а в точке она имеет разрыв.

    Исследование функции на непрерывность может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика .

    Непрерывность функции на промежутке

    Пусть функция y = f (x ) определена в интервале ]a , b [ и непрерывна в каждой точке этого интервала. Тогда она называется непрерывной в интервале ]a , b [ . Аналогично определяется понятие непрерывности функции на промежутках вида ]- ∞, b [ , ]a , + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Пусть теперь функция y = f (x ) определена на отрезке [a , b ] . Разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок. Здесь следует упомянуть о так называемой односторонней непрерывности: в точке a , оставаясь на отрезке [a , b ] , мы можем приближаться только справа, а к точке b - только слева. Функция называется непрерывной на отрезке [a , b ] , если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .

    Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a , b ] , функция непрерывна на отрезке [0 , b ] , функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2 .

    Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.

    Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках - 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах

    .

    Пример 5. Определить, при каком значении параметра a непрерывна на всей области определения функция

    Решение.

    Найдём правосторонний предел при :

    .

    Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax :

    a = 1,5 .

    Пример 6. Определить, при каких значениях параметров a и b непрерывна на всей области определения функция

    Решение.
    Найдём левосторонний предел функции в точке :

    .

    Следовательно, значение в точке должно быть равно 1:

    Найдём левосторонний функции в точке :

    Очевидно, что значение функции в точке должно быть равно :

    Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1; b = -3 .

    Основные свойства непрерывных функций

    К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t , выраженная законом s = f (t ) , даёт пример непрерывной функции f (t ) . Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f (t ) .

    В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.

    1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.

    2. Функция f (x ) , непрерывная на интервале [a , b ] , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f (a ) и f (b ) . В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.

    Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.

    Содержание

    Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений . Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
    .
    Введем новую функцию:
    .
    Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
    .

    Определение непрерывности справа (слева)
    Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x 0 , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x 0 равен значению функции в x 0 :
    .

    Теорема об ограниченности непрерывной функции
    Пусть функция f(x) непрерывна в точке x 0 . Тогда существует такая окрестность U(x 0) , на которой функция ограничена.

    Теорема о сохранении знака непрерывной функции
    Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
    .
    Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
    при .

    Арифметические свойства непрерывных функций
    Пусть функции и непрерывны в точке .
    Тогда функции , и непрерывны в точке .
    Если , то и функция непрерывна в точке .

    Свойство непрерывности слева и справа
    Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.

    Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций ».

    Непрерывность сложной функции

    Теорема о непрерывности сложной функции
    Пусть функция непрерывна в точке . И пусть функция непрерывна в точке .
    Тогда сложная функция непрерывна в точке .

    Предел сложной функции

    Теорема о пределе непрерывной функции от функции
    Пусть существует предел функции при , и он равен :
    .
    Здесь точка t 0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
    И пусть функция непрерывна в точке .
    Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
    .

    Теорема о пределе сложной функции
    Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
    Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
    Тогда существует предел сложной функции и он равен :
    .

    Точки разрыва

    Определение точки разрыва
    Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
    1) не определена в ;
    2) определена в , но не является в этой точке.

    Определение точки разрыва 1-го рода
    Точка называется точкой разрыва первого рода , если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
    .

    Определение скачка функции
    Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
    .

    Определение точки устранимого разрыва
    Точка называется точкой устранимого разрыва , если существует предел
    ,
    но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

    Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

    Определение точки разрыва 2-го рода
    Точка называется точкой разрыва второго рода , если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

    Свойства функций, непрерывных на отрезке

    Определение функции, непрерывной на отрезке
    Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и в точках a и b , соответственно.

    Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
    Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

    Определение достижимости максимума (минимума)
    Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
    для всех .

    Определение достижимости верхней (нижней) грани
    Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
    .

    Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
    Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

    Теорема Больцано - Коши о промежуточном значении
    Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
    .

    Следствие 1
    Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
    .

    Следствие 2
    Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
    при .

    Обратные функции

    Определение обратной функции
    Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y . И пусть она обладает свойством:
    для всех .
    Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X , для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
    .

    Из определения следует, что
    ;
    для всех ;
    для всех .

    Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
    Если функция строго возрастает (убывает) , то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).

    Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
    Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

    Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
    Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

    Для возрастающей функции . Для убывающей - .

    Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
    Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

    Для возрастающей функции .
    Для убывающей: .

    Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

    Свойства и непрерывность элементарных функций

    Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

    Показательная функция

    Показательная функция f(x) = a x , с основанием a > 0 - это предел последовательности
    ,
    где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x :
    .

    Теорема. Свойства показательной функции
    Показательная функция имеет следующие свойства:
    (П.0) определена, при , для всех ;
    (П.1) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
    (П.2) строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;
    (П.3) ;
    (П.3*) ;
    (П.4) ;
    (П.5) ;
    (П.6) ;
    (П.7) ;
    (П.8) непрерывна для всех ;
    (П.9) при ;
    при .

    Логарифм

    Логарифмическая функция, или логарифм, y = log a x , с основанием a - это функция, обратная к показательной функции с основанием a .

    Теорема. Свойства логарифма
    Логарифмическая функция с основанием a , y = log a x , имеет следующие свойства:
    (Л.1) определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента,;
    (Л.2) имеет множество значений ;
    (Л.3) строго возрастает при , строго убывает при ;
    (Л.4) при ;
    при ;
    (Л.5) ;
    (Л.6) при ;
    (Л.7) при ;
    (Л.8) при ;
    (Л.9) при .

    Экспонента и натуральный логарифм

    В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a , которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e :
    .
    Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e - натуральным логарифмом: .

    Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
    «Экспонента, е в степени х »,
    «Натуральный логарифм, функция ln x »

    Степенная функция

    Степенная функция с показателем степени p - это функция f(x) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
    Кроме этого, f(0) = 0 p = 0 при p > 0 .

    Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m , степенная функция определена и для отрицательных x . В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
    Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики ».

    Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
    Степенная функция, y = x p , с показателем p имеет следующие свойства:
    (С.1) определена и непрерывна на множестве
    при ,
    при ».

    Тригонометрические функции

    Теорема о непрерывности тригонометрических функций
    Тригонометрические функции: синус (sin x ), косинус (cos x ), тангенс (tg x ) и котангенс (ctg x

    Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
    Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x ), арккосинус (arccos x ), арктангенс (arctg x ) и арккотангенс (arcctg x ), непрерывны на своих областях определения.

    Использованная литература:
    О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
    Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
    С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

    См. также:

    Учреждение образования «Белорусская государственная

    сельскохозяйственная академия»

    Кафедра высшей математики

    Методические указания

    по изучению темы «Непрерывность функций одной переменной»

    студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения

    образования (НИСПО)

    Горки, 2013

    Непрерывность функций одной переменной

      Односторонние пределы

    Пусть функция
    определена на множестве
    . Введём понятие односторонних пределов функции при
    . Будем рассматривать такие значения х , что
    . Это означает, что
    , оставаясь всё время слева от
    при
    то он называется левым пределом этой функции в точке (или при
    ) и обозначается

    .

    Пусть теперь
    , оставаясь всё время справа от , т.е. оставаясь больше . Если при этом существует предел функции
    , то он называется правым пределом этой функции в точке и обозначается

    .

    Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции в точке.

    Если существуют односторонние пределы функции в точке и они равны между собой, то функция имеет тот же предел в этой точке :



    .

    Если односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует .

      Непрерывность функции в точке

    Пусть функция
    определена на некотором множестве D . Пусть независимая переменная х переходит от одного своего (начального) значения
    к другому (конечному) значению . Разность конечного и начального значений называется приращением величины х и обозначается
    . Приращение может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае величина х при переходе от к х увеличивается, а во втором случае - уменьшается.

    Если независимая переменная х получает некоторое приращение
    , то функция
    получает приращение
    . Так как
    , то .

    Приращением функции
    в точке называется разность , где
    – приращение независимой переменной.

    Можно дать несколько определений непрерывности функции в точке.



    Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Геометрически непрерывность функции
    в замкнутом интервале означает, что график функции представляет собой сплошную линию без разрывов.

    Непрерывные на отрезке функции обладают важными свойствами, которые выражаются следующими утверждениями.

    Если функция
    непрерывна на отрезке [a , b ], то она ограничена на этом отрезке.

    Если функция
    непрерывна на отрезке [a , b ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.

    Если функция
    непрерывна на отрезке [a , b ] и
    , то каким бы ни было число С , заключённое между числами А и В , найдётся точка
    , что
    .

    Из этого утверждения следует, что если функция
    непрерывна на [a , b ] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка c , в которой функция обращается в нуль.

    Справедливо следующее утверждение: если над непрерывными функциями производить арифметические действия, то в результате получается непрерывная функци я.

    Пример 1 .

    в точке
    .

    Решение . Значение функции при
    есть
    . Вычислим односторонние пределы функции в точке
    :

    Так как односторонние пределы при
    равны между собой и равны значению функции в этой точке, то данная функция непрерывна в точке
    .

    3. Непрерывность элементарных функций

    Рассмотрим функцию
    . Эта постоянная функция непрерывна в любой точке , так как
    .

    Функция
    также непрерывна в каждой точке
    , так как
    . Так как
    , то на основании приведённого утверждения об арифметических операциях над непрерывными функциями
    будет непрерывной. Непрерывными будут такжен функции
    .

    Аналогично можно показать непрерывность остальных элементарных функций.

    Таким образом, любая элементарная функция непрерывна в своей области определения, т.е. область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

      Непрерывность сложной и обратной функций

    Пусть функция
    непрерывна в точке , а функция
    непрерывна в точке
    . Тогда сложная функция
    непрерывна в точке . Это означает, что если сложная функция составлена из непрерывных функций, то она также будет непрерывной, т.е. непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная . Это определение распространяется на конечное число непрерывных функций.

    Из этого определения следует, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:

    Это означает, что если функция непрерывна, то знак предела и знак функции можно поменять местами.

    Пусть функция
    a , b ]. Тогда обратная ей функция
    определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [A , B ], где
    .

      Точки разрыва и их классификаци я

    Как уже известно, что если функция
    определена на множестве D и в точке
    выполняется условие
    , то функция непрерывна в этой точке. Если же это условие непрерывности не выполняется, то в точке х 0 функция имеет разрыв.

    Точка называется точкой разрыва первого рода функции
    , если в этой точке функция имеет конечные односторонние пределы, не равные друг другу, т.е. . При этом величина

    называется скачком функции
    в точке .

    Точка называется точкой устранимого разрыва функции
    , если односторонние пределы функции в этой точке равны друг другу и не равны значению функции в этой точке, т.е. В этом случае для устранения разрыва в точке нужно положить

    Точка х 0 называется точкой разрыва второго рода функции
    если хотя бы один из односторонних пределов
    или
    в этой точке либо не существует, либо равен бесконечности.

    Пример 2 . Исследовать на непрерывность функцию

    .

    Решение . Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, за исключением точки
    . В этой точке функция имеет разрыв. Найдём односторонние пределы функции в точке
    :

    Так как в точке
    односторонние пределы равны между собой, а функция в этой точке не определена, то точка
    является точкой устранимого разрыва. Чтобы устранить разрыв в этой точке, необходимо доопределить функцию, положив
    .

    Пример 3 . Исследовать на непрерывность функцию

    .

    Решение . Функция определена и непрерывна на всём множестве действительных чисел, кроме
    . В этой точке функция имеет разрыв. Найдём односторонние пределы функции при
    :

    .

    Так как данная функция в точке
    имеет конечные односторонние пределы, не равные друг другу, то эта точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции в точке
    равен .

    Вопросы для самоконтроля знаний

      Что называется приращением аргумента и приращением функции?

      Что называется левосторонним (левым) пределом функции?

      Что называется правосторонним (правым) пределом функции?

      Какая функция называется непрерывной в точке, в интервале?

      Какая точка называется точкой разрыва функции?

      Какая точка называется точкой разрыва первого рода?

      Какая точка называется точкой разрыва второго рода?

      Какая точка называется точкой устранимого разрыва?

    Задания для самостоятельной работы

    Исследовать функции на непрерывность:


    в точке
    .

    Пусть точка a принадлежит области задания функции f(x) и любая ε -окрестность точки a содержит отличные от a точки области задания функции f(x) , т.е. точка a является предельной точкой множества {x} , на котором задана функция f(x) .

    Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке a , если функция f(x) имеет в точке a предел и этот предел равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .

    Из этого определения имеем следующее условие непрерывности функции f(x) в точке a :

    Так как , то мы можем записать

    Следовательно, для непрерывной в точке a функции символ предельного перехода и символ f характеристики функции можно менять местами.

    Определение . Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке a , если правый (левый) предел этой функции в точке a существует и равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .

    Тот факт, что функция f(x) непрерывна в точке a справа записывают так:

    А непрерывность функции f(x) в точке a слева записывают как:

    Замечание . Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

    Теорема . Пусть на одном и том же множестве заданы функции f(x) и g(x) , непрерывные в точке a . Тогда функции f(x)+g(x) , f(x)-g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) - непрерывны в точке a (в случае частного нужно дополнительно требовать g(a) ≠ 0 ).

    Непрерывность основных элементарных функций

    1) Степенная функция y=x n при натуральном n непрерывна на всей числовой прямой.

    Сначала рассмотрим функцию f(x)=x . По первому определению предела функции в точке a возьмем любую последовательность {x n } , сходящуюся к a , тогда соответствующая последовательность значений функций {f(x n)=x n } также будет сходиться к a , то есть , то есть функция f(x)=x непрерывная в любой точек числовой прямой.

    Теперь рассмотрим функцию f(x)=x n , где n - натуральное число, тогда f(x)=x · x · … · x . Перейдем к пределу при x → a , получим , то есть функция f(x)=x n непрерывна на числовой прямой.

    2) Показательная функция.

    Показательная функция y=a x при a>1 является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой.

    Показательная функция y=a x при a>1 удовлетворяет условиям:

    3) Логарифмическая функция.

    Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на всей полупрямой x>0 при a>1 и непрерывна и убывает на всей полупрямой x>0 при 0, причем

    4) Гиперболические функции.

    Гиперболическими функциями называются следующие функции:

    Из определения гиперболических функции следует, что гиперболический косинус, гиперболический синус и гиперболический тангенс заданы на всей числовой оси, а гиперболический котангенс определен всюду на числовой оси, за исключением точки x=0 .

    Гиперболические функции непрерывны в каждой точке области их задания (это следует из непрерывности показательной функции и теоремы об арифметических действиях).

    5) Степенная функция

    Степенная функция y=x α =a α log a x непрерывна в каждой точке открытой полупрямой x>0 .

    6) Тригонометрические функции.

    Функции sin x и cos x непрерывны в каждой точке x бесконечной прямой. Функция y=tg x (kπ-π/2,kπ+π/2) , а функция y=ctg x непрерывна на каждом из интервалов ((k-1)π,kπ) (здесь всюду k - любое целое число, т.е. k=0, ±1, ±2, …) .

    7) Обратные тригонометрические функции.

    Функции y=arcsin x и y=arccos x непрерывны на отрезке [-1, 1] . Функции y=arctg x и y=arcctg x непрерывны на бесконечной прямой.

    Два замечательных предела

    Теорема . Предел функции (sin x)/x в точке x=0 существует и равен единице, т.е.

    Этот предел называется первым замечательным пределом .

    Доказательство . При 0 справедливы неравенства 0<\sin x. Разделим эти неравенства на sin x , тогда получим

    Эти неравенства справедливы также и для значений x , удовлетворяющих условиям -π/2. Это следует из того, что cos x=cos(-x) и . Так как cos x - непрерывная функция, то . Таким образом, для функций cos x , 1 и в некоторой δ -окрестности точки x=0 выполняются все условия теорем. Следовательно, .

    Теорема . Предел функции при x → ∞ существует и равен числу e :

    Этот предел называется вторым замечательным пределом .

    Замечание . Верно также, что

    Непрерывность сложной функции

    Теорема . Пусть функция x=φ(t) непрерывна в точке a , а функция y=f(x) непрерывна в точке b=φ(a) . Тогда сложная функция y=f[φ(t)]=F(t) непрерывна в точке a .

    Пусть x=φ(t) и y=f(x) - простейшие элементарные функции, причем множество значений {x} функции x=φ(t) является областью задания функции y=f(x) . Как мы знаем, элементарные функции непрерывны в каждой точке области задания. Поэтому по предыдущей теореме сложная функция y=f(φ(t)) , то есть суперпозиция двух элементарных функций, непрерывна. Например, функция непрерывна в любой точке x ≠ 0 , как сложная функция от двух элементарных функций x=t -1 и y=sin x . Также функция y=ln sin x непрерывна в любой точке интервалов (2kπ,(2k+1)π) , k ∈ Z (sin x>0 ).